Physik und CAS

Computer Algebra Systeme

In dieser Rubrik geht es um Möglichkeiten, die Naturwissenschaften nicht nur vermittelt zu bekommen, sondern diese zu erleben. Erstmals seit der Erfindung des Abakus wird es mit Taschencomputern möglich, mathematische oder physikalische Zusammenhänge zu visualisieren, um diese verstehen zu können. Darüber hinaus bietet die moderne Rechentechnik natürlich die Analyse dieser Zusammenhänge. Damit kann sich Mathematikunterricht von den reinen Rechenspielchen abwenden und sich auf seine Hauptaufgabe - der Analyse von Zusammenhängen und der Erforschung neuer Theorien widmen.

Vektorsumme

Seit 2008 verbreitet sich die Texas-Instruments nspire-Technologie rasend schnell. Parallel zum Handheld wurde eine dazu 100% kompatible PC-Software entwickelt, so dass auf dem Handgerät und am PC parallel gearbeitet werden kann. Datenbackups und Screenshots sind mit einem Mausklick erledigt.
TI-nspire und TI-nspire_CAS arbeiten dokumentenbasierend, das heißt, dass Ihre Arbeit in Dateien gespeichert werden. Jede Datei enthält sog. Probleme in Form von Dokumenten (Calculator, Graph, Geometry, Lists, Spreadsheet, Notes, Data&Statistics). Jedes Problem enthält beliebig viele statische oder dynamische Variablen. Eine Datei kann mehrere Probleme enthalten. Die Anzahl der Dokumente in einem Problem ist eigentlich unbegrenzt. Die Dokumente können dynamisch miteinander verknüpft werden, ändert man eine Größe, so ändern sich alle damit verknüpften Größen mit.

Das Beispiel zeigt ein Kräfteparallelogramm für Physik Klasse 10. Alle Punkte des Parallelogramms können mit dem Hand-Werkzeug (Klicken und ziehen) "angefasst" werden. Verändert man die Position, dann errechnen sich "live" die gewünschten Größen, was hier durch das "Ausmessen" von Streckenlängen bzw. Winkeln realisiert ist. Anhand dieser Messwerte können dann weitere Berechnungen mit den Variablenwerten durchgeführt werden oder eine Datenerfassung zu einer Kurve für den Zusammenhang zwischen den Größen implementiert werden.

Mit dem ministeriellen Beschluss vom 20.01.2011 bzw. Beurkundung vom 15.02.2011 sind CAS in Thüringen seit Beginn des Schuljahres 2011/12 ab Klassenstufe 9 verpflichtend im Unterricht einzusetzen. Ab 2014 wird das Abitur unter Anwendung dieser Technik geschrieben. Mehr dazu habe ich in einer kurzen Publikation zusammengefasst, die hier eingesehen werden kann.

Was sind CAS?

Computer-Algebra-Systeme (CAS) sind mathematische Werkzeuge, die analytische Operationen ausführen können. Man ist nicht mehr auf das reine Rechnen mit Zahlen beschränkt, sondern operiert mit Variablen, Listen, Vektoren, Matritzen oder gar ganzen geometrischen Objekten.
CAS-Rechner können Äquivalenzumformungen ausführen und daher Gleichungen auch analytisch lösen.
CAS gibt es als klassischen Handheld ("Taschenrechner") oder als Computerprogramm (z.B. "MathCad" oder "Derive"). Eigentlich sind alle CAS auch grafikfähig! So können Funktionen oder Funktionsscharen sowohl grafisch als auch analytisch analysiert werden.
Beispiele: TI-nspire_CAS; TI-nspire_CAS_CX; TI-Voyage200; Casio ClassPad 330; HP 50G

Welcher Unterschied besteht zum Grafikrechner?

Grafikrechner sind in der Lage, Funktionsgraphen im y-x-Diagramm darzustellen. Mit ihnen kann man Funktionsgraphen analysieren, jedoch NICHT mit Variablen arbeiten und nur selten den Einfluss von Parametern untersuchen. Es können keine Ableitungen oder Stammfunktionen ermittelt werden, die Rechner arbeiten nur mit Zahlen, nicht mit Buchstaben.
Grafikrechner (nicht-CAS) können KEINE Äquivalenzumformungen ausführen. Sie lösen Gleichungen durch Annäherungsverfahren.
Rechner dieser Art können Wertetabellen erzeugen, man kann mittels Datenloggern Messwerte erfassen und naturwissenschaftliche Versuche auswerten.
Beispiele: TI-nspire; TI-nspire CX; TI-84Plus; Casio FX-CG20 Casio FX-9860G (SD); HP 39GS; Sharp EL-9900

CAS-Werkzeuge (Auswahl)

In erster Linie kann man den Rechner als Calculator im "normalen" Taschenrechnermodus betreiben, der darüber hinaus über eine umfangreiche Funktionsbibliothek verfügt. Die Bibliothek des nspire ist außer der Syntaxbeschreibung in Landessprache in sehr vielen Funtkionen auch mit einem Assistenten ausgestattet, um die Funktionsanwendung zu vereinfachen. Immer wieder faszinierend und wichtig für die naturwissenschaftlichen Anwendungen (Messwerterfassung, Wertetabellen) ist die Tabellenkalkulation, die sich sehr stark an Excel anlehnt und letztlich dazu kompatibel ist. Das Beispiel zeigt die Definition zweier Geraden, die Ermittlung von Ortskoordinaten für einen bestimmten Parameterwert und die Berechnung des Schnittpunktes inkl. Kontrolle.
In der Analysis von Interesse ist z.B. das Umstrukturieren von Termen, das Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen auch in Abhängigkeit von Parametern, das Ermitteln von Partialsummen, Erstellen von Summenformeln, das Bilden von Ableitungen und Stammfunktionen. Prinzipiell kann man mit CAS-Rechnern komplette Kurvendiskussionen am Rechner ausführen. Der Statistikmodus erlaubt professionelle statistische Analysen inklusive fast aller denkbarer Diagramme zur Visualisierung und der Ausführung von Zufallsversuchen mittels "Pseudo-Zufallszahlen". Finanzmathematiker werden über das Werkzeug "Finanzmathematik" erstaunt sein und PC-Benutzer erkennen ganz schnell die Tabellenkalkulation wieder, die auf guten CAS identisch funktioniert. Das Beispiel zeigt den Grafen einer Funktion mit der automatischen Anzeige des Maximums auf dem TI-nspire_CAS.
Im Bereich der Geometrie und analytischen Geometrie sind CAS-Rechner ein ganz starkes Werkzeug zur Behandlung von Geraden und Ebenen. Bei modernen Geräten sind geometrische Konstruktionen oder auch das Erstellen von dynamischen Konstruktionen ein Kinderspiel. Mit einem Texteditor lassen sich dann noch Anmerkungen hinzufügen. Das Beispiel zeigt die Zimmerannsregel. Aus einem runden Holzstamm soll ein Balken rechteckiger Grundfläche mit maximaler Tragfähigkeit gesägt werden. Mit der "Hand" kann man einen Objekt in der Konstruktion "greifen" und verschieben. Dank der dynamischen Geometrie verändern sich alle weiteren abhängigen Objekte automatisch mit.
Andere naturwissenschaftliche Unterrichtsfächer profitieren von der Möglichkeit der Datenerfassung mit Sensoren für Messgrößen. Dabei wird dann nicht einfach nur ein Wert gemessen, sondern es werden Zusammenhänge zwischen den Messgrößen oder die zeitliche Abhängigkeit einer Messgröße aufgenommen und oszillografiert. Selbstverständlich werden Messwerttabellen gespeichert und können mit dem Rechner zur Bearbeitung oder Auswertung weiter verwendet werden. Freunde der Informatik werden über den Programmeditor staunen. In einer Art Basic oder gar im Pitching-Dialekt lassen sich astreine Programme schreiben, mit denen dann die Daten im Rechner verarbeitet werden können. Das Beispiel zeigt die Ladekurve eines 470µF-Kondensators, aufgenommen mit TI-nspire_CAS, dem Datenlogger EasyLink und dem Vernier Spannungssensor VP-BTA.

Die Technik

Die folgende Zusammenstellung zeigt Gerätebeispiele, die für die Rubrik "CAS" verwendet wurden.
Seit 1996 konnte ich viele Erfahrungen im Umgang mit CAS und Datenerfassungsgeräten sammeln. Anfangs arbeitete ich mit einem HP-38, später mit HP-40 und TI-89. Daraus wurde dann ein TI-92, später ein TI-Voyage und der CASIO ClassPad und sodann der TI-npsire in all seinen Varianten. Viele Erkenntnisse schlummern im Virtuellen, einige habe ich verschriftlicht und manche ausführlich aufgearbeitet. Dabei wurden unter anderem die nachfolgenden Geräte verwendet.


TI-nspire CAS Touch	TI-nspire CX CAS

TI-Voyage 200	CASIO ClassPad 330

Vernier WDSS-Sensorsystem	WDSS von innen. Klick makes big.

Vernier LabQuest	Hewlett Packard HP 50G

Datenlogger Vernier LabPro	Datenlogger CASIO EA-200

In diesem ruhenden Inertialsystem wird derzeit eine neue Rubrik vorbereitet. Weil sich bei mir inzwischen viele kleinere oder auch größere Dokumente rund um das Thema CAS-Rechner angesammelt haben, sollen künftig die bedeutsamsten Dinge hier veröffentlicht werden.
Wer sich erst mal etwas tiefer mit Computer-Algebra-Systemen wie dem TI-Voyage 200, dem TI-nspire-CAS oder vergleichbaren Geräten beschäftigt und diese wenigstens in den Ansätzen verstanden hat, wird die Notwendigkeit der umgehenden Einführung der CAS-Technologie in allen naturwissenschaftlichen Unterrichtsfächern ab Klasse 9 oder sogar ab Klasse 7 befürworten. Mathematik kann so schön sein! Doch viel zu oft sperren sich Lehrkräfte und andere Verantwortliche gegen die Einführung neuer Technologien in der Bildung - und zwar vorrangig aus Unkenntnis der Dinge, Voreingenommenheit oder aus Angst vor Neuem. Klar, die alten Vorbereitungen von 1980 kann man dann nicht mehr verwenden und man muss selber neu lernen.
Kein Mensch wird in diesem Land mit einer Pferdekutsche zum Einkauf fahren, kaum jemand geht zu Fuß zum Großmarkt und niemand benutzt mehr die Wäscherumpel. Warum ist das so? Weil es die Technologie gibt, die derart angstrengende Tätigkeiten enorm vereinfacht. Gibt es noch Haushalte ohne PC, wo doch derzeit der Trend sogar zum "Sub-Notebook" geht? Vor 15 Jahren standen wir beim Thema Computer an der gleichen Stelle wie heute bei CAS-Rechnern. Aber das wird sich gewiss auch noch ändern.